Wiskunde 123

Zoeken


ABC-formule bewijs

Moeilijkheidsgraaad: Voortgezet onderwijs: bovenbouw

Om te bewijzen dat de ABC-formule (ook wel de wortelformule genoemd) klopt, gaan we deze formule stap voor stap herleiden van de formule $f(x) = ax^2 + bx + c$ naar de formule

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Dit doen we stap voor stap inclusief een uitgebreide uitleg.

$$f(x) = ax^2 + bx + c = 0$$

We beginnen met het gelijkstellen van de formule aan nul. Je kan met de abc-formule immers alleen de snijpunten op de X-as berekenen.

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$$

We vermenigvuldigen alle termen met $4a$. Het gedeelte achteraan blijft 0, een vermenigvuldiging met 0 altijd 0 is.

$$4a^2x^2 + 4abx + 4ac + b^2 = b^2$$

We voegen nu aan beide kanten $b^2$ toe.

$$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$$

Het gedeelte $4ac$ halen we over naar de andere kant, waardoor dit $-4ac$ wordt.

$$(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac$$

Door middel van kwadraat afsplitsen komen we aan de volgende formule:

$$2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac}$$

Vervolgens nemen we aan allebei de kanten de wortel, zodat het kwadraat verdwijnt.

$$2ax = -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$$

Nu halen we de term $b$ over naar de andere kant.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Vervolgens delen we beide zijden door $2a$. Nu heb je de bekende ABC-formule!

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.

Oefenopgaven

Opgave

Je kunt nu de abcformule afleiden voor de vorm ax2+bx+c=0. Dit type tweedegraadsvergelijkingen heeft altijd 0, 1 of 2 oplossingen.

Zoek nu een formule voor alle vergelijkingen van de volgende types:

a. ax2 + bx = 0

b. ax2 + c = 0

Bekijk antwoord