Wiskunde 123

Zoeken


Formule van Cardano (1)

Moeilijkheidsgraaad: Voortgezet onderwijs: bovenbouw

Voordat je aan dit artikel begint is het handig om te weten hoe je te werk gaat bij het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen met de ABC-formule!

Om derdegraadsvergelijkingen op te lossen wordt de formule van Cardano gebruikt. Derdegraadsvergelijkingen zijn vergelijkingen in de vorm: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

Ontbinden in factoren

Een eerste mogelijkheid voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen is ontbinden in factoren. Deze methode wordt ook vaak gebruikt bij het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen. Derdegraadsvergelijkingen die op deze manier zijn op te lossen hebben de volgende vorm: $ax^3 + bx^2 + cx = 0$. Als voorbeeld lossen we de vergelijking $5x^3 + 6x^2 + x = 0$ op, waarbij a = 5, b = 6 en c = 1. Dit kan in de volgende stappen:

$$x(5x^2 + 6x + 1) = 0$$

Ontbind de factor $x$, omdat deze in elke term voorkomt. De rest van de vergelijking is nu een gewone tweedegraadsvergelijking die op te lossen is met de ABC-formule.

$$x = 0 \vee D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1$$

Een gevonden oplossing is $x = 0$. De andere oplossingen proberen we te vinden met de ABC-formule.

$$x = 0 \vee D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$$

Een oplossing van x = 0, want 0 keer de rest komt altijd 0 uit! De andere oplossingen proberen we te vinden met de abc-formule.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5}$$

$$x = \frac{-6 + 4}{10} \vee x = \frac{-6 - 4}{10}$$

$$x = \frac{-2}{10} = -0.2 \vee x = \frac{-10}{10} = -1$$

De andere oplossingen zijn dus $x = -0.2 \vee x = -1$.

Eén oplossing is bekend

Als één van de oplossingen al bekend is kunnen de andere twee oplossingen ook eenvoudig worden gevonden met de factorstelling. Als voorbeeld nemen we de vergelijking $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$ waarbij gegeven is dat $x = 3$ een oplossing is. Als we dit verifiëren zien we inderdaad dat dit het geval is:

$$3^3 - 3 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 + 12 = 0$$

Omdat $x = 3$ een oplossing is, kan er uit de vergelijking een factor $x - 3$ worden ontbonden. Hiervoor maken we weer gebruik van het ontbinden in factoren. Het bovenstaande voorbeeld levert nu de volgende oplossing op:

$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = (x - 3)(x^2 - 4) = 0$$

De factor $x^2 - 4$ is gevonden door te zoeken hoe vaak de factor $x - 3$ past in $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$. Dit doe je door naar de grootste term te kijken, in dit geval $x^3$. De factor $x - 3$ past hier $x^2$ keer in. Dit betekent dat we $(x - 3) \cdot x^2 = x^3 - 3x^2$ van de vergelijking af kunnen trekken:

$$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 - (x^3 - 3x^2)= -4x + 12$$

Het klopt inderdaad dat $x - 3$ nog $-4$ keer af kunt trekken van $-4x + 12$, dus de ontbinding klopt! We kunnen nu weer de ABC-formule toepassen om de oplossing te vinden, of meteen inzien dat $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ oplevert. De oplossingen zijn nu:

$$(x - 3)(x + 2)(x - 2) = 0$$ $$x = 3 \vee x = -2 \vee x = 2$$

Indien er geen oplossingen bekend zijn dient de formule van Cardano te worden gebruikt.

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.