Wiskunde 123

Zoeken


Formule van Cardano (2)

Moeilijkheidsgraaad: Hogeschool en universitair

Cardano was een Italiaanse wiskundige die leefde in de 16e eeuw. De belangrijkste bijdragen van hem zijn de publicaties over het oplossen van derdegraads- en vierdegraadsvergelijkingen. Dit zijn vergelijkingen in de vorm $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ (3e graads) en $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ (4e graads). Dit artikel richt zich op het oplossen van derdegraadsvergelijkingen.

Omdat het lastig blijkt om voor alle vergelijkingen in de vorm $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ een oplossing te vinden, wordt deze formule vaak omgeschreven naar de vorm $x^3 + px + q = 0$. De stappen die hiervoor nodig zijn worden beschreven op deze Wikipedia-pagina. Om de vergelijking $x^3 + px + q = 0$ op te lossen is de volgende formule beschikbaar, die de formule van Cardano wordt genoemd:

$$x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$

De afleiding van deze formule van eveneens gevonden worden op deze Wikipedia-pagina.

Zoals vermeld in het artikel over de Formule van Cardano (1) heeft een derdegraads vergelijking echter drie (complexe) oplossingen. De formule van Cardano geeft er echter maar één. Door deze oplossing te gebruiken samen met de factorstelling kunnen de andere twee oplossingen worden gevonden. Ook dit staat uitgelegd in het artikel over de Formule van Cardano (1).

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.