Wiskunde 123

Zoeken


Ontwikkeling van 0,999...

Moeilijkheidsgraaad: Hogeschool en universitair

In dit artikel zal een bewijs worden geleverd dat $0,999... = 1$, aan de hand van rijen en gebaseerd op de definitie van nul. Dit bewijs is ook geldig voor gelijksoortige vergelijkingen in andere getallenstelsels. Natuurlijk volgt hieruit dat je andere gehele getallen ook als eindeloze decimale getallen kunt schrijven.

Opmerking vooraf: als een getal wordt gevolgd door een getal in subscript, dan geeft het getal in subscript, zelf geschreven in het tientallig stelsel, het getallenstelsel van het voorgaande getal aan.

De decimalen producerende rij

Definiëer deze rij en zijn verschilrij:

$u_{n+1} = u_n + (B-1) · B^{-n-1}$ met $u_0 = 0$

$\Delta u_n = u_{n+1} - u_n$

Hieruit volgt:

$\Delta u_n = (B-1) · B^{-n-1} > 0$ en $u_0 = 0$

$\Rightarrow u_n \geq 0$

Daaruit blijkt dat rij $u$ altijd blijft stijgen. De verschilrij $\Delta u$ is echter een dalende nulrij: de stijging neemt dus wel af. Dit betekent dat rij $u$ van onderaf convergent moet zijn.

$B$ is het getallenstelsel dat we gebruiken. Willen we aantonen dat $0,FFF..._{16}$ gelijk is aan $1$, dan nemen we $B = 16$. Willen we aantonen dat $0,111..._2 = 1$, dan kiezen we $B = 2$.

Wij willen in eerste instantie aantonen dat $0,999_{10} = 1$, dus nemen we $B = 10$. De rij gaat dan als volgt:

$0; 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; 0,99999; enz.$

De rij plakt dus telkens een negen achter zijn vorige waarde. De limiet van deze rij bestaat dan dus uit een oneindige reeks negens achter de komma:

$\lim_{n \rightarrow \infty} u_n = 0,999...$

Voor andere getallenstelsels gaat het bewijs echter hetzelfde, dus vandaar dat we de $B$ laten staan. De limiet is in het algemene geval een nul en een komma gevolgd door een oneindige reeks van het hoogste cijfer dat in dat getallenstelsel voorkomt.

De complementaire rij

Nu kijken we naar een rij $v$ en zijn verschilrij, die als volgt zijn gedefinieerd:

$v_n = 1 - u_n$

$\Delta v_n = v_{n+1} - v_n$

We analyseren de verschilrij:

$\Delta v_n = 1 - u_{n+1} - 1 + u_n = -(B-1) · B^{-n-1} < 0$

Rij $v$ is daalt dus monotoon tot in het oneindige. Deze daling is echter afnemend: rij $v$ is dus van bovenaf convergent.

Rij $v$ heeft de volgende recursieve formule:

$v_{n+1} = 1 - u_n - (B-1) · B^{-n-1} = v_n - (B-1) · B^{-n-1}$ met $v_0 = 1$

Bekijken we de getallen in rij $v$, dan zien we het volgende:

$1; 0,1_B; 0,01_B; 0,001_B; 0,0001_B; 0,00001_B; enz.$

Als we ons vervolgens realiseren rij $v$ zijn voorganger telkens gewoon door 10_B$ deelt, dan is de recursieve formule veel simpeler te schrijven:

$v_{n+1} = v_n / B = v_n · B^{-1}$

De rij $v$ blijkt een simpele meetkundige rij te zijn met startwaarde $1$ en reden $1 / B$. De directe formule is dus:

$v_n = B^{-n}$

Omdat de reden kleiner dan één is $(1 / B < 1)$, voldoet $v$ volledig aan de definitie van een nulrij: voor elk positief getal is een positie in de rij aan te wijzen is vanaf waar alle elementen kleiner zijn dan een bepaald getal. De limiet van $v$ is dus:

$\lim_{n \rightarrow \infty} v_n = 0$

Vergelijking van beide rijen

Als we de rijen $u$ en $v$ met elkaar vergelijken, dan valt het volgende op:

$u_n + v_n = 1$

$\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} 1$

$\Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} u_n + \lim_{n \rightarrow \infty} v_n = 1$

Als we bijvoorbeeld weer naar het geval $B = 10$, kijken, dan volgt hieruit direct:

$$0,999... + 0 = 1 \Leftrightarrow 0,999... = 1$$

Zoals eerder genoemd kun je zo'n vergelijking uiteraard voor elk getallenstelsel maken. Neem bijvoorbeeld het duodecimale stelsel en je krijgt:

$$0,BBB..._{12} + 0 = 1 \Leftrightarrow 0,BBB..._{12} = 1$$

Omdat dit dan natuurlijk ook weer gelijk is aan $0,999...$, kun je het getal $1$ op deze manier op oneindig veel manieren noteren als een oneindige reeks achter de komma. Dit zijn dus allemaal verschillende notaties voor dezelfde $1$. Uiteraard volgt uit bovenstaand bewijs dat ook andere gehele getallen als eindeloze decimale getallen kunnen worden genoteerd.

Reacties

Ga naar de pagina met reacties bij dit artikel om meningen van anderen te bekijken en zelf je mening te geven over dit artikel.